Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik

WS 2023 / 2024

WuS Hausaufgabe 5

Abgabetermin

Die Abgabefrist dieser Hausaufgabe ist 2023-12-18 13:00!

Vergessen Sie nicht Ihre Übung abzugeben (Assignment Tab / Submit Button). Einfaches Speichern reicht nicht! Sie können beliebig oft abgeben, die letzte Abgabe vor der Deadline wird gewertet.

Viel Erfolg!

Hinweise zur Bearbeitung der Übung

Allgemeine Informationen:

Schreiben Sie Ihre Antwort an die Stelle YOUR CODE HERE.
Fügen Sie keine neuen Zellen hinzu oder löschen Zellen.
Benennen Sie keine der Dateien / Notebooks um.

Angabe von Ergebnissen

Runden Sie Ihre Ergebnisse nicht. Bei den Tests werden bis zu 6 Nachkommastellen geprüft.
Prozentzahlen werden immer als Zahl zwischen 0 und 1 angegeben. 30% wird somit als 0.3 angegeben.
Fließkommazahlen werden mit einem Dezimalpunkt angegeben, nicht mit einem Komma. $\frac{1}{4} \rightarrow 0.25$ .

Programmcode

Das Ergebnis einer Funktion muss mittels return zurückgegeben werden. Ein print Statement ist keine gültige Rückgabe.
Stellen Sie sicher, dass sich Ihr Code ausführen lässt. Code der nicht läuft kann nicht automatisch bewertet werden.
Bevor Sie abgeben: Klicken Sie im Menü auf Kernel > Restart & Run All (oder den Button in der Toolbar). Damit führen Sie das Notebook linear von oben nach unten aus. Alle Fehler die dann auftreten, treten auch beim Bewerten auf.
Entfernen Sie die raise NotImplementedError(), wenn Sie eine Aufgabe bearbeiten. Ansonsten wird beim Bewerten eine Exception ausgelöst, die uns sagt, dass Sie die Aufgabe nicht bearbeitet haben!

1# execute this for default imports
2import math
3import random as rd
4import numpy as np
5import pandas as pd
6from matplotlib import pyplot as plt
7from scipy import stats

Task 1¶

[40 Point(s)]

Seeohren¶

In dieser Aufgabe wollen wir uns mit den unterschiedlichen Konfidenzintervallen aus der Vorlesung beschäftigen.

Hierzu ist der Datensatz abalone.txt über Seeohren (eine Muschelart, engl. Abalone) mit verschiedenen Merkmalen einer Seeohrenpopulation (https://archive.ics.uci.edu/ml/datasets/Abalone) gegeben.

Wir betrachten im Folgenden das Merkmal Length. (Dieses ist im Datensatz in mm/200 angegeben, um die Werte für ein Neuronales Netz zu normieren. Behalten Sie die Skalierung bei.)

Laden Sie die Daten wie folgt in ein Pandas Dataframe mit Namen seeohren.

1import pandas as pd
2
3seeohren = pd.read_csv('WuS_Hausaufgabe_5_files/data/abalone.txt')
4seeohren

Task 1.1¶

[2 Point(s)]

Seeohren a)¶

Implementieren Sie zunächst die Funktion stichprobe, die aus einer float Liste eine Stichprobe der angegebenen Größe zieht (mit Wiederholungen) und diese zurückgibt.

 1import random
 2
 3
 4def stichprobe(daten: [float], n: int) -> [float]:
 5    """
 6    Ziehe eine Stichprobe
 7    
 8    Arguments:
 9        daten              -- Liste mit Fließkommazahlen
10        n                  -- Anzahl der Werte in der Stichprobe
11    Returns:
12        werte              -- Eine Liste mit den gezogenen Werten
13    """
14    return [daten[random.randint(0,len(daten)-1)] for _ in range(n)]
15
16stichprobe([3.14, 2.72, 1.41, 42.], 10)

[2.72, 1.41, 1.41, 42.0, 42.0, 2.72, 1.41, 42.0, 1.41, 2.72]

1# This test case is hidden #

### BEGIN GRADE
2.0
### END GRADE

/opt/conda/lib/python3.10/site-packages/assignmenttest/deprecated.py:9: DeprecationWarning: The package assignmenttest is deprecated. Use e2xgradingtools instead.
  warnings.warn(

Task 1.2¶

[6 Point(s)]

Seeohren b)¶

Implementieren Sie nun die Funktion konfidenzintervall_t, welche für eine gegebene normalverteilte Stichprobe (daten) und ein gegebenes Konfidenzniveau (konfidenz) das Konfidenzintervall für den Erwartungswert der zugrundeliegenden Verteilung mittels der T-Verteilung schätzt.

 1from scipy import stats
 2
 3def konfidenzintervall_t(daten: [float], konfidenz: float) -> (float, float):
 4    """
 5    Berechnet das beidseitige Konfidenzintervall anhand der T Verteilung
 6    
 7    Arguments:
 8        daten              -- Gegebene Stichprobe
 9        konfidenz          -- Konfidenzniveau
10    Returns:
11        (c_u, c-o)         -- Konfidenzintervall (untere Grenze, obere Grenze)
12    """
13    x_quer = np.mean(daten)
14    n = len(daten)
15    alpha = 1-konfidenz
16    s = np.std(daten, ddof=1)
17    
18    c = stats.t(df=n-1).ppf(1-alpha/2)
19    c_u = x_quer - c*s/n**.5
20    c_o = x_quer + c*s/n**.5
21    
22    return c_u, c_o
23konfidenzintervall_t([1,2,3,4,5,2,3,4], .9)

(2.122980523417601, 3.877019476582399)

1# This test case is hidden #

3 / 3 tests passed

### BEGIN GRADE
6.0
### END GRADE

Task 1.3¶

[6 Point(s)]

Seeohren c)¶

Implementieren Sie nun die Funktion konfidenzintervall_norm, welche für eine gegebene normalverteilte Stichprobe (daten), bekannte Standardabweichung (std) und ein gegebenes Konfidenzniveau (konfidenz) das Konfidenzintervall für den Erwartungswert der zugrundeliegenden Verteilung mittels der Normalverteilung schätzt.

 1from scipy import stats
 2
 3def konfidenzintervall_norm(daten: [float], std: float, konfidenz: float) -> (float, float):
 4    """
 5    Berechnet das beidseitige Konfidenzintervall mit der Normalverteilung
 6    
 7    Arguments:
 8        daten              -- Gegebene Stichprobe
 9        std                -- Standardabweichung der Grundgesamtheit
10        konfidenz          -- Konfidenzniveau
11    Returns:
12        (c_u, c-o)         -- Konfidenzintervall (untere Grenze, obere Grenze)
13    """
14    x_quer = np.mean(daten)
15    n = len(daten)
16    
17    c = stats.norm.ppf((konfidenz+1)/2)
18    c_u = x_quer - c * std / n**.5
19    c_o = x_quer + c * std / n**.5
20    
21    return c_u, c_o
22
23konfidenzintervall_norm([1,2,3,4,5,2,3,4], 1.2, .9)

(2.302147707793996, 3.697852292206004)

1# This test case is hidden #

3 / 3 tests passed

### BEGIN GRADE
6.0
### END GRADE

Task 1.4¶

[8 Point(s)]

Seeohren d)¶

Ziehen Sie 1000 Stichproben der Größe 20 mit Zurücklegen, um den Erwartungswert der Länge der Seeohren zu schätzen. Berechnen Sie dazu für jede Stichprobe das 90% Konfidenzintervall (zweiseitig), einmal mittels der T-Verteilung und einmal mittels der Normalverteilung mithilfe ihrer Funktionen. Verwenden Sie in letzterem Fall die Standardabweichung der Grundgesamtheit zur Berechnung.

Berechnen Sie das Konfidenzintervall außerdem noch einmal falsch anhand der Normalverteilung, wobei Sie die Stichprobenstandardabweichung der Stichprobe als std Parameter verwenden.

Berechnen Sie dann den relativen Anteil der Stichproben bei denen der echte Erwartungswert (nehmen Sie hierfür den Mittelwert der Grundgesamtheit an) im berechneten Konfidenzintervall um die Mittelwerte Ihrer Stichproben liegt.

Speichern Sie Ihre Lösung in den Variablen anteil_t_20, anteil_norm_20, sowie anteil_norm_falsch_20.

 1true_mean = seeohren.Length.mean()
 2true_std = np.std(seeohren.Length)
 3size = 20
 4repeats = 1000
 5konfidenz = 0.9
 6
 7stichproben = [stichprobe(list(seeohren.Length), size) for _ in range(repeats)]
 8konfidenzintervalle_t_20 = [konfidenzintervall_t(sp, konfidenz) for sp in stichproben]
 9konfidenzintervalle_norm_20 = [konfidenzintervall_norm(sp,true_std, konfidenz) for sp in stichproben]
10konfidenzintervalle_norm_falsch_20 = [konfidenzintervall_norm(sp,np.std(sp), konfidenz) for sp in stichproben]
11
12anteil_t_20 = sum([c_u < true_mean < c_o for c_u, c_o in konfidenzintervalle_t_20])/repeats
13anteil_norm_20 = sum([c_u < true_mean < c_o for c_u, c_o in konfidenzintervalle_norm_20])/repeats
14anteil_norm_falsch_20 = sum([c_u < true_mean < c_o for c_u, c_o in konfidenzintervalle_norm_falsch_20])/repeats
15
16anteil_t_20, anteil_norm_20, anteil_norm_falsch_20

(0.891, 0.904, 0.869)

1# This test case is hidden #

4 / 4 tests passed

### BEGIN GRADE
8.0
### END GRADE

Task 1.5¶

[4 Point(s)]

Seeohren e)¶

Vervollständigen Sie nun die Funktion experiment, welche das Experiment aus d) für die übergebene Anzahl an Wiederholungen und Stichprobengröße durchführt und die relativen Anteile im t, norm und norm_falsch Konfidenzintervall widergibt.

 1konfidenz = 0.90
 2def experiment(wiederholungen: int, stichprobengroesse: int):
 3    """
 4    Berechnet den relativen Anteil der Stichproben bei denen der Erwartungswert im Konfidenzintervall liegt
 5    
 6    Arguments:
 7        wiederholungen     -- Anzahl der Ziehungen der Stichprobe
 8        stichprobengroesse -- Groesse der gezogenen Stichproben
 9    Returns:
10        anteil_t           -- Anteil der Stichproben deren Mittelwert im berechneten Konfidenzintervall liegt
11        anteil_norm        -- Anteil der Stichproben deren Mittelwert im berechneten Konfidenzintervall liegt
12        anteil_norm_falsch -- Anteil der Stichproben deren Mittelwert im berechneten Konfidenzintervall liegt
13    """
14    stichproben = [stichprobe(list(seeohren.Length), stichprobengroesse) for _ in range(wiederholungen)]
15    
16    anteil_t = sum([c_u < true_mean < c_o 
17                    for c_u, c_o in [konfidenzintervall_t(sp, konfidenz) 
18                    for sp in stichproben]])/wiederholungen
19    
20    anteil_norm = sum([c_u < true_mean < c_o 
21                    for c_u, c_o in [konfidenzintervall_norm(sp,true_std, konfidenz) 
22                    for sp in stichproben]])/wiederholungen
23    
24    anteil_norm_falsch = sum([c_u < true_mean < c_o 
25                    for c_u, c_o in [konfidenzintervall_norm(sp,np.std(sp), konfidenz)
26                    for sp in stichproben]])/wiederholungen
27    
28    return anteil_t, anteil_norm, anteil_norm_falsch
29
30experiment(1000, 20)

(0.908, 0.915, 0.892)

1# This test case is hidden #

4 / 4 tests passed

### BEGIN GRADE
4.0
### END GRADE

Task 1.6¶

[2 Point(s)]

Seeohren f)¶

Wiederholen Sie das Experiment für eine Stichprobengröße von 10.

Speichern Sie Ihre Lösung in den Variablen anteil_t_10, sowie anteil_norm_10.

1anteil_t_10, anteil_norm_10, anteil_norm_falsch_10 = experiment(1000, 10)
2
3anteil_t_10, anteil_norm_10, anteil_norm_falsch_10

(0.887, 0.886, 0.825)

1# This test case is hidden #

4 / 4 tests passed

### BEGIN GRADE
2.0
### END GRADE

Task 1.7¶

[4 Point(s)]

Seeohren g)¶

Wiederholen Sie das obige Experiment jeweils für eine Stichprobengröße von 3, 4, 5, 7, 10, 15, 20, 30, 40, 50.

Speichern Sie die Werte jeweils als entsprechende Liste in den Variablen anteil_t, anteil_norm, sowie anteil_norm_falsch.

1sizes = [3, 4, 5, 7, 10, 15, 20, 30, 40, 50]
2ergebnisse = [experiment(1000, size) for size in sizes]
3anteil_t = [ergebniss[0] for ergebniss in ergebnisse]
4anteil_norm = [ergebniss[1] for ergebniss in ergebnisse]
5anteil_norm_falsch = [ergebniss[2] for ergebniss in ergebnisse]
6
7
8anteil_norm_falsch, anteil_norm, anteil_t, ergebnisse

([0.696, 0.73, 0.795, 0.814, 0.848, 0.856, 0.863, 0.878, 0.882, 0.874],
 [0.911, 0.897, 0.911, 0.901, 0.901, 0.91, 0.898, 0.901, 0.91, 0.894],
 [0.894, 0.871, 0.901, 0.891, 0.894, 0.897, 0.888, 0.889, 0.893, 0.888],
 [(0.894, 0.911, 0.696),
  (0.871, 0.897, 0.73),
  (0.901, 0.911, 0.795),
  (0.891, 0.901, 0.814),
  (0.894, 0.901, 0.848),
  (0.897, 0.91, 0.856),
  (0.888, 0.898, 0.863),
  (0.889, 0.901, 0.878),
  (0.893, 0.91, 0.882),
  (0.888, 0.894, 0.874)])

1# This test case is hidden #

!--> AssertionError: Anteil mit der falsch berechneten Normalverteilung sollte ziemlich sicher in diesem Intervall liegen.
     Line 6: assert l and all(0.7 < element < 0.95 for element in anteil_norm_falsch), "Anteil mit der falsch berechneten Normalverteilung sollte ziemlich sicher in diesem Intervall liegen."
<--!

3 / 4 tests passed

### BEGIN GRADE
3.0
### END GRADE

Task 1.8¶

[6 Point(s)]

Seeohren h)¶

Erstellen Sie ein Diagramm, welches die Resultate aus g) mittels drei line-plots miteinander vergleicht. Die x-Achse bezeichnet die Stichprobengrößen und die y-Achse den Anteil der Mittelwerte im Konfidenzintervall pro Verteilung.

 1fig, ax = plt.subplots()
 2
 3ax.plot(sizes, anteil_norm, linestyle='-', label='Normalverteilung')
 4#ax.plot(sizes, anteil_norm_falsch, linestyle='-', label='Normalverteilung Falsch')
 5ax.plot(sizes, anteil_t, linestyle='-', label='T Verteilung')
 6ax.legend()
 7plt.grid()  # Gitterlinien
 8plt.xlabel('Stichprobengröße')  # Achsenbeschriftung
 9plt.ylabel('Anteil der Mittelwerte im Konfidenzintervall')  # Achsenbeschriftung
10plt.title('''
11Anteil der Mittelwerte im Konfidenzintervall bei verschiedenen Stichprobengrößenund Verteilungen 
12bei 1000 wiederholungen pro Stichprobengröße''')  # Titel
13plt.show()

Task 1.9¶

[2 Point(s)]

Wir sollten Konfidenzintervalle also wie folgt berechnen: ¶

Task 2¶

[30 Point(s)]

Exakter Test nach Fisher¶

Der Fisher-Test ist ein Signifikanztest auf Unabhängigkeit in Kontingenztafeln.

Implementieren Sie den zweiseitigen Fisher-Test. Benutzen Sie hierfür nicht die Funktion stats.fisher_exact!

Task 2.1¶

[15 Point(s)]

Exakter Test nach Fisher a)¶

Implementieren Sie hierfür zunächst die Funktion p_tab(...), welche als Parameter a und eine vierfeldertafel als Liste von Listen erhält. Die Funktion soll die zugehörige Wahrscheinlichkeit für $P(A \cap B = a)$ berechnen.

 1import math
 2from scipy import stats
 3
 4def p_tab(a, vierfeldertafel):
 5    b = vierfeldertafel[0][1]
 6    c = vierfeldertafel[1][0]
 7    d = vierfeldertafel[1][1]
 8    
 9    n = a+b+c+d
10    
11    return (math.comb(a+b,a) * math.comb(c+d,c)) / math.comb(n,a+c) 
12
13vierfeldertafel = [[4, 1], 
14                   [2, 2]]
15p_tab(vierfeldertafel[0][0], vierfeldertafel)

0.35714285714285715

1# This test case is hidden #

Test 2 (tafel=[[3, 1], [2, 2]], a=4) fehlgeschlagen: Rückgabe ist 0.35714285714285715, aber sollte 0.07142857142857142 sein.
Test 3 (tafel=[[7, 2], [1, 12]], a=4) fehlgeschlagen: Rückgabe ist 0.016769865841073272, aber sollte 0.281733746130031 sein.
Test 4 (tafel=[[17, 38], [18, 7]], a=11) fehlgeschlagen: Rückgabe ist 4.4781952304629695e-05, aber sollte 5.166333545532079e-11 sein.
### BEGIN GRADE
9.0
### END GRADE

Task 2.2¶

[15 Point(s)]

Exakter Test nach Fisher b)¶

Implementieren Sie nun die Funktion fisher_exakt. Diese erhält eine Vierfeldertafel und berechnet den zugehörigen p-Wert, um $P(A \cap B \text{ "min. so extrem wie" } a) = p \overset{?}{<} \alpha$ zu entscheiden. Es soll sich hier also um den beidseitigen Test handeln!

 1def fisher_exakt(vierfeldertafel) -> float:
 2    '''
 3    Führe den zweiseitigen Fisher-Test für eine Vierfeldertafel aus
 4    
 5    Arguments:
 6        vierfeldertafel -- Die Vierfeldertafel
 7    Returns:
 8        p_Wert          -- Der p-Wert 
 9    '''
10    a = vierfeldertafel[0][0]
11    b = vierfeldertafel[0][1]
12    c = vierfeldertafel[1][0]
13    d = vierfeldertafel[1][1]
14    
15    return 1 - stats.hypergeom.cdf(a-1, M=a+b+c+d, n=a+b, N=a+c)
16
17vierfeldertafel = [[4, 1], 
18                   [2, 2]]
19
20fisher_exakt(vierfeldertafel)

0.40476190476190466

1# This test case is hidden #

Sie scheinen den einseitigen Test aus der Vorlesung implementiert zu haben, hier war eigentlich der beidseitige gefragt.
### BEGIN GRADE
11.0
### END GRADE

Task 3¶

[30 Point(s)]

Schätzen und Testen¶

Die Fragen sind Multiple-Choice-Fragen, es können also auch mehrere Antworten korrekt sein. Punkte gibt es nur, wenn alle korrekten und keine falsche Antwort ausgewählt wurde.

Task 3.1¶

[2 Point(s)]

Eine Schätzfunktion... ¶

Task 3.2¶

[2 Point(s)]

$X_1,...,X_n$ seien unabhängige Stichprobenvariablen für $X$ und $X$ sei $\cal{N}(\mu,\sigma^2)$ -verteilt, dann ist die Schätzvariable $\overline{X}$ für $\mu$ ... ¶

Task 3.3¶

[2 Point(s)]

Soll ein Konfidenzintervall für $\mu$ zu einer normalverteilten Grundmenge bestimmt werden, wobei $\sigma$ jedoch unbekannt ist, benötigt man... ¶

Task 3.4¶

[2 Point(s)]

Seien $E_1,...,E_n$ unabhängig Erlang-verteilte Zufallsvariablen mit gemeinsamem Erwartungswert $e$ und gemeinsamer Varianz $v^2$ und sei $E=E_1+...+E_n$ , dann ist $\frac{E-ne}{v\sqrt{n}}$ für $n\rightarrow\infty$ ... ¶

Task 3.5¶

[2 Point(s)]

Welche Arten von Schätzern wurden in der Vorlesung besprochen? ¶

Task 3.6¶

[2 Point(s)]

Das Ziel des Testens ist es: ¶

Task 3.7¶

[2 Point(s)]

Der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass ¶

Task 3.8¶

[2 Point(s)]

Wie viele Tassen bekam die Tea-Tasting Lady der Geschichte nach insg. zum Testen? ¶

Task 3.9¶

[2 Point(s)]

Eine Schätzfunktion ist eine Funktion, die ¶

Task 3.10¶

[2 Point(s)]

Eine Nullhypothese wird nur dann verworfen, wenn ihr p-Wert: ¶

Task 3.11¶

[2 Point(s)]

Alpha- und Beta-Fehler ¶

Task 3.12¶

[2 Point(s)]

Typische Werte für das Signifikanzniveau $\alpha$ sind ¶

Task 3.13¶

[2 Point(s)]

Durch Erhöhen des Stichprobenumfangs n ¶

Task 3.14¶

[2 Point(s)]

Durch ändern des Mittelwerts $\mu$ ¶

Task 3.15¶

[2 Point(s)]

Durch Erhöhen der Varianz $\sigma$ ¶

Viel Erfolg¶

Erinnerungen: Ausführbar? Errors Raised? Abgegeben?

Stellen Sie sicher, dass sich Ihr Code ausführen lässt. Code der nicht läuft kann nicht automatisch bewertet werden.
Bevor Sie abgeben: Klicken Sie im Menü auf Kernel > Restart & Run All (oder den Button in der Toolbar). Damit führen Sie das Notebook linear von oben nach unten aus. Alle Fehler die dann auftreten, treten auch beim Bewerten auf.
Entfernen Sie die raise NotImplementedError(), wenn Sie eine Aufgabe bearbeiten. Ansonsten wird beim Bewerten eine Exception ausgelöst, die uns sagt, dass Sie die Aufgabe nicht bearbeitet haben!
Vergessen Sie nicht Ihr bearbeitetes Notebook zu abzugeben (Assignment Tab / Submit Button)! Einfaches Speichern reicht nicht und wird nicht bewertet.

Timestamp:

2023-12-18 02:35:11.488661 CET

	Sex	Length	Diameter	Height	Whole Weight	Shucked Weight	Viscera Weight	Shell Weight	Rings
0	M	0.455	0.365	0.095	0.5140	0.2245	0.1010	0.1500	15
1	M	0.350	0.265	0.090	0.2255	0.0995	0.0485	0.0700	7
2	F	0.530	0.420	0.135	0.6770	0.2565	0.1415	0.2100	9
3	M	0.440	0.365	0.125	0.5160	0.2155	0.1140	0.1550	10
4	I	0.330	0.255	0.080	0.2050	0.0895	0.0395	0.0550	7
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
4172	F	0.565	0.450	0.165	0.8870	0.3700	0.2390	0.2490	11
4173	M	0.590	0.440	0.135	0.9660	0.4390	0.2145	0.2605	10
4174	M	0.600	0.475	0.205	1.1760	0.5255	0.2875	0.3080	9
4175	F	0.625	0.485	0.150	1.0945	0.5310	0.2610	0.2960	10
4176	M	0.710	0.555	0.195	1.9485	0.9455	0.3765	0.4950	12

WuS_Hausaufgabe_5 (Score: 81.0 / 100.0)

Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik

WS 2023 / 2024

WuS Hausaufgabe 5

Abgabetermin

Viel Erfolg!

Hinweise zur Bearbeitung der Übung

Allgemeine Informationen:

Angabe von Ergebnissen

Programmcode

Task 1¶

Seeohren¶

Task 1.1¶

Seeohren a)¶

Task 1.2¶

Seeohren b)¶

Task 1.3¶

Seeohren c)¶

Task 1.4¶

Seeohren d)¶

Task 1.5¶

Seeohren e)¶

Task 1.6¶

Seeohren f)¶

Task 1.7¶

Seeohren g)¶

Task 1.8¶

Seeohren h)¶

Task 1.9¶

Wir sollten Konfidenzintervalle also wie folgt berechnen: ¶

Task 2¶

Exakter Test nach Fisher¶

Task 2.1¶

Exakter Test nach Fisher a)¶

Task 2.2¶

Exakter Test nach Fisher b)¶

Task 3¶

Schätzen und Testen¶

Task 3.1¶

Eine Schätzfunktion... ¶

Task 3.2¶

X1,...,XnX1,...,XnX_1,...,X_n seien unabhängige Stichprobenvariablen für XXX und XXX sei N(μ,σ2)N(μ,σ2)\cal{N}(\mu,\sigma^2)-verteilt, dann ist die Schätzvariable ¯¯¯¯¯XX¯\overline{X} für μμ\mu... ¶

Task 3.3¶

Soll ein Konfidenzintervall für μμ\mu zu einer normalverteilten Grundmenge bestimmt werden, wobei σσ\sigma jedoch unbekannt ist, benötigt man... ¶

Task 3.4¶

Seien E1,...,EnE1,...,EnE_1,...,E_n unabhängig Erlang-verteilte Zufallsvariablen mit gemeinsamem Erwartungswert eee und gemeinsamer Varianz v2v2v^2 und sei E=E1+...+EnE=E1+...+EnE=E_1+...+E_n, dann ist E−nev√nE−nevn\frac{E-ne}{v\sqrt{n}} für n→∞n→∞n\rightarrow\infty... ¶

Task 3.5¶

Welche Arten von Schätzern wurden in der Vorlesung besprochen? ¶

Task 3.6¶

Das Ziel des Testens ist es: ¶

Task 3.7¶

Der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass ¶

Task 3.8¶

Wie viele Tassen bekam die Tea-Tasting Lady der Geschichte nach insg. zum Testen? ¶

Task 3.9¶

Eine Schätzfunktion ist eine Funktion, die ¶

Task 3.10¶

Eine Nullhypothese wird nur dann verworfen, wenn ihr p-Wert: ¶

Task 3.11¶

Alpha- und Beta-Fehler ¶

Task 3.12¶

Typische Werte für das Signifikanzniveau αα\alpha sind ¶

Task 3.13¶

Durch Erhöhen des Stichprobenumfangs n ¶

Task 3.14¶

Durch ändern des Mittelwerts μμ\mu ¶

Task 3.15¶

Durch Erhöhen der Varianz σσ\sigma ¶

Viel Erfolg¶

Erinnerungen: Ausführbar? Errors Raised? Abgegeben?

2023-12-18 02:35:11.488661 CET

$X_1,...,X_n$ seien unabhängige Stichprobenvariablen für $X$ und $X$ sei $\cal{N}(\mu,\sigma^2)$ -verteilt, dann ist die Schätzvariable $\overline{X}$ für $\mu$ ... ¶

Soll ein Konfidenzintervall für $\mu$ zu einer normalverteilten Grundmenge bestimmt werden, wobei $\sigma$ jedoch unbekannt ist, benötigt man... ¶

Seien $E_1,...,E_n$ unabhängig Erlang-verteilte Zufallsvariablen mit gemeinsamem Erwartungswert $e$ und gemeinsamer Varianz $v^2$ und sei $E=E_1+...+E_n$ , dann ist $\frac{E-ne}{v\sqrt{n}}$ für $n\rightarrow\infty$ ... ¶

Typische Werte für das Signifikanzniveau $\alpha$ sind ¶

Durch ändern des Mittelwerts $\mu$ ¶

Durch Erhöhen der Varianz $\sigma$ ¶